解题技巧
【链式推理②】构建篇：交替规则与状态传递
在上一篇文章中，我们学习了链式推理的两个基本构件：强链接和弱链接。本文将进一步探讨如何将这些链接组合起来，构建完整的推理链，并从中得出有效的结论。
链的构建：强弱链接交替连接，形成完整的推理路径
链的基本结构
链是由候选数节点和链接构成的序列。每个节点代表一个候选数（某个格子中的某个数字），相邻节点之间通过强链接或弱链接相连。
链的形式化表示：
A ═ B - C ═ D - E ═ F
其中：
• A, B, C, D, E, F 是候选数节点
• ═ 表示强链接
• - 表示弱链接
• 整条链描述了从A到F的逻辑推理路径
A ═ B - C ═ D - E ═ F
其中：
• A, B, C, D, E, F 是候选数节点
• ═ 表示强链接
• - 表示弱链接
• 整条链描述了从A到F的逻辑推理路径
候选数节点的表示
在链式推理中，我们通常用以下方式表示候选数节点：
- 位置+数字：如 R3C5(4) 表示"第3行第5列格子中的候选数4"
- 简写形式：如 r3c5=4 或 (3,5)4
每个节点代表一个断言：该候选数为真（该格子填入该数字）或为假（该候选数被排除）。
链接的交替规则
构建有效链的核心规则是：强链接和弱链接交替出现。这个规则确保了逻辑推理的有效性。
为什么需要交替？
如果连续使用两个弱链接（真→假→？），第二个弱链接无法继续传递。
只有交替使用，才能形成连续的推理链。
- 强链接：传递"假→真"，无法传递"真→真"
- 弱链接：传递"真→假"，无法传递"假→假"
如果连续使用两个弱链接（真→假→？），第二个弱链接无法继续传递。
只有交替使用，才能形成连续的推理链。
特殊情况：连续强链接
当多个强链接连续出现时（如 A ═ B ═ C ═ D），看起来似乎违反了交替规则，但实际上这是有效的。
原因：强链接的条件是"恰好一真一假"，而弱链接的条件是"至多一个为真"。由于"恰好一个"必然满足"至多一个"，所以每个强链接同时也是弱链接。
解读方式：
可以理解为：
因此在表示法上，连续的强链接并不是错误，而是中间的强链接隐含地承担了弱链接的角色。
当多个强链接连续出现时（如 A ═ B ═ C ═ D），看起来似乎违反了交替规则，但实际上这是有效的。
原因：强链接的条件是"恰好一真一假"，而弱链接的条件是"至多一个为真"。由于"恰好一个"必然满足"至多一个"，所以每个强链接同时也是弱链接。
解读方式：
A ═ B ═ C ═ D可以理解为：
A ═ B - C ═ D（中间的强链接作为弱链接使用）因此在表示法上，连续的强链接并不是错误，而是中间的强链接隐含地承担了弱链接的角色。
强弱链接交替规则：只有交替才能形成有效的推理链
有效链的模式
根据交替规则，有效的链必须是以下形式之一：
1
以强链接开始，以强链接结束：
链长为奇数条链接（强-弱-强-弱-强）
A ═ B - C ═ D - E ═ F链长为奇数条链接（强-弱-强-弱-强）
2
以弱链接开始，以弱链接结束：
链长为奇数条链接（弱-强-弱-强-弱）
A - B ═ C - D ═ E - F链长为奇数条链接（弱-强-弱-强-弱）
3
以强链接开始，以弱链接结束（或反之）：
链长为偶数条链接
A ═ B - C ═ D - E链长为偶数条链接
着色思想（Coloring）
着色是理解链式推理的一个强大思维工具。我们给链上的节点交替赋予两种"颜色"，代表两种可能的真假状态。
着色规则：
- 给链的起点赋予颜色A（比如蓝色）
- 通过强链接连接的下一个节点，赋予相反颜色B（比如绿色）
- 通过弱链接连接的下一个节点，赋予相同颜色
- 依次交替，直到链的终点
着色思想：强链接翻转颜色，弱链接保持颜色
着色的逻辑解释
强
强链接翻转颜色：
强链接两端"恰好一真一假"。如果一端为假，另一端必为真；如果一端为真，另一端必为假。
因此强链接两端的颜色相反，代表相反的真假状态。
强链接两端"恰好一真一假"。如果一端为假，另一端必为真；如果一端为真，另一端必为假。
因此强链接两端的颜色相反，代表相反的真假状态。
弱
弱链接保持颜色：
弱链接两端"至多一真"。如果假设一端为真（颜色A=真），另一端必为假。
但如果一端为假，另一端状态不确定。因此在着色时，我们关注的是"如果前一个节点为真"的情况，所以弱链接后的节点与前一节点的"真假假设"相同。
（注：这里的"保持颜色"是指在追踪"真"状态传递时的行为）
弱链接两端"至多一真"。如果假设一端为真（颜色A=真），另一端必为假。
但如果一端为假，另一端状态不确定。因此在着色时，我们关注的是"如果前一个节点为真"的情况，所以弱链接后的节点与前一节点的"真假假设"相同。
（注：这里的"保持颜色"是指在追踪"真"状态传递时的行为）
着色的核心含义：
同色节点：要么全真，要么全假
异色节点：真假状态相反
通过着色，我们可以快速判断链上任意两个节点之间的真假关系。
同色节点：要么全真，要么全假
异色节点：真假状态相反
通过着色，我们可以快速判断链上任意两个节点之间的真假关系。
状态传递的两种视角
理解链式推理有两种互补的视角：追踪"真"状态和追踪"假"状态。
视角一：追踪"真"状态的传递
假设链的起点为真，观察这个"真"状态如何沿着链传递：
A ═ B - C ═ D - E ═ F
假设 A = 真
→ A-B是强链接，A真时B可真可假，状态不确定
（追踪"真"在纯强链接上无法有效传递）
假设 A = 真
→ A-B是强链接，A真时B可真可假，状态不确定
（追踪"真"在纯强链接上无法有效传递）
A - B ═ C - D ═ E - F
假设 A = 真
→ A-B是弱链接，A真 → B必假
→ B-C是强链接，B假 → C必真
→ C-D是弱链接，C真 → D必假
→ D-E是强链接，D假 → E必真
→ E-F是弱链接，E真 → F必假
结论：A真 → F假
假设 A = 真
→ A-B是弱链接，A真 → B必假
→ B-C是强链接，B假 → C必真
→ C-D是弱链接，C真 → D必假
→ D-E是强链接，D假 → E必真
→ E-F是弱链接，E真 → F必假
结论：A真 → F假
视角二：追踪"假"状态的传递
假设链的起点为假，观察这个"假"状态如何沿着链传递：
A ═ B - C ═ D - E ═ F
假设 A = 假
→ A-B是强链接，A假 → B必真
→ B-C是弱链接，B真 → C必假
→ C-D是强链接，C假 → D必真
→ D-E是弱链接，D真 → E必假
→ E-F是强链接，E假 → F必真
结论：A假 → F真
假设 A = 假
→ A-B是强链接，A假 → B必真
→ B-C是弱链接，B真 → C必假
→ C-D是强链接，C假 → D必真
→ D-E是弱链接，D真 → E必假
→ E-F是强链接，E假 → F必真
结论：A假 → F真
关键观察：
对于以强链接开始和结束的链：
• 起点假 → 终点真（通过追踪"假"状态）
• 起点和终点颜色相反
对于以弱链接开始和结束的链：
• 起点真 → 终点假（通过追踪"真"状态）
• 起点和终点颜色相同
对于以强链接开始和结束的链：
• 起点假 → 终点真（通过追踪"假"状态）
• 起点和终点颜色相反
对于以弱链接开始和结束的链：
• 起点真 → 终点假（通过追踪"真"状态）
• 起点和终点颜色相同
从链得出结论
构建了有效的链之后，我们如何从中得出可以用于排除的结论呢？这取决于链的结构和两端的关系。
结论类型一：两端存在弱链接关系
1
场景：链的两端A和F恰好能互相"看到"（存在弱链接）
链：A ═ B - C ═ D - E ═ F，且A和F同行/列/宫或同格
分析：
• 如果A假 → F真（链的传递）
• 如果A真 → F假（A和F的弱链接）
结论：无论A真假，A和F中必有一个为真（A假则F真，A真则A本身为真）。
应用：能同时看到A和F的其他同数字候选数可以被排除！
链：A ═ B - C ═ D - E ═ F，且A和F同行/列/宫或同格
分析：
• 如果A假 → F真（链的传递）
• 如果A真 → F假（A和F的弱链接）
结论：无论A真假，A和F中必有一个为真（A假则F真，A真则A本身为真）。
应用：能同时看到A和F的其他同数字候选数可以被排除！
结论类型二：两端是同一候选数
2
场景：链的两端恰好是同一格子的同一候选数（形成环）
链：A ═ B - C ═ D - E ═ A（回到起点）
分析：
• 如果A假 → ... → A真（矛盾！）
结论：A不能为假，所以A必为真。
链：A ═ B - C ═ D - E ═ A（回到起点）
分析：
• 如果A假 → ... → A真（矛盾！）
结论：A不能为假，所以A必为真。
结论类型三：着色冲突
3
场景：链上两个同色节点之间存在弱链接（它们能互相看到）
分析：
• 同色意味着它们的真假状态相同
• 弱链接意味着它们不能同时为真
结论：这两个节点必须同时为假。所有同色节点都为假，所有异色节点都为真。
分析：
• 同色意味着它们的真假状态相同
• 弱链接意味着它们不能同时为真
结论：这两个节点必须同时为假。所有同色节点都为假，所有异色节点都为真。
从链得出结论的三种主要方式
交替推理链（AIC）
交替推理链（Alternating Inference Chain，简称AIC）是链式推理的标准形式。它的特点是：
- 强链接和弱链接严格交替
- 以强链接开始，以强链接结束
- 链的两端存在弱链接关系
AIC的标准形式：
其中A和Z之间存在弱链接（能互相看到）。
结论：A和Z中必有一个为真，因此能同时看到A和Z的其他候选数可以被排除。
A ═ B - C ═ D - ... - Y ═ Z其中A和Z之间存在弱链接（能互相看到）。
结论：A和Z中必有一个为真，因此能同时看到A和Z的其他候选数可以被排除。
AIC是一个强大的框架，许多具体的技巧都可以被视为特殊形式的AIC：
- X-Wing、Swordfish：可以用AIC描述
- Skyscraper：一种简单的AIC
- XY-Wing：三节点的AIC
- XY-Chain：纯双值格组成的AIC
构建链的实践技巧
在实际解题中，构建有效的链需要一些技巧和经验：
1
从双值格开始：
双值格既提供强链接（格内两数），又容易发现弱链接（同单元其他同数候选）。它们是构建链的理想起点。
双值格既提供强链接（格内两数），又容易发现弱链接（同单元其他同数候选）。它们是构建链的理想起点。
2
寻找共轭对：
在行、列、宫中寻找只出现两次的数字，它们形成的共轭对是强链接的重要来源。
在行、列、宫中寻找只出现两次的数字，它们形成的共轭对是强链接的重要来源。
3
注意链接类型的判断：
同一对候选数之间可能同时存在强链接和弱链接（如双值格或共轭对）。在构建链时，要清楚使用的是哪种链接。
同一对候选数之间可能同时存在强链接和弱链接（如双值格或共轭对）。在构建链时，要清楚使用的是哪种链接。
4
目标导向：
如果想排除某个候选数X，尝试构建一条链，使得链的两端都能"看到"X。
如果想排除某个候选数X，尝试构建一条链，使得链的两端都能"看到"X。
常见错误：
- 连续使用两个弱链接（无法传递状态）
- 将弱链接误判为强链接（导致错误结论）
- 忘记验证链两端的关系（无法得出结论）
下一步
本文介绍了如何构建链以及从链得出结论的方法。在下一篇文章中，我们将讨论：
- 链的各种应用模式（开链、闭链、环）
- 常见链式技巧的统一理解
- 分组链接与复杂链结构
- 不连续环与高级推理